一、一种几何方法，具体过程如下：
假设存在一个图形，它的周长是l，而它的面积是所有周长为l的图形里面最大的。
它必须是凸的，否则我们把凹进去的部分对称翻出来增大面积 它有一个性质，如果边上任意两点A和B，平分周长，则分开的两部分面积必然相等。否则可以用面积大的一部分替代面积小的部分来增大面积。连接这两点形成线段AB。 问题到此可以转换为，怎样在一条线段旁边围出一个面积尽量大的图形（线段算作一边） 在这个曲线上任一点C，连接AC，BC。线段AC和曲线AC之间围成的面积是不会变的，BC也一样，只有三角形ACB可以活动。这样只有当角ACB为直角时，三角形ACB才能取得最大面积，也就是整个半图形的面积最大。 由上面推理中C的任意性可知，对于在曲线上任何一点C，角ACB都必须为直角。满足这样的图形是半圆。
以上证明是很精彩的，不超过初中以上的知识。由Steiner在19世纪给出。不严格之处在于没有证明图形的存在性（前人语）。我还觉得似乎和曲线的稠密性有关。
二、证明相同长度下正n边形的面积随着n增大而增大，其极限是圆
定理1：周长为定值的不等边n边形面积一定小于某一个同周长的n等边形
这个图形必须是凸的，这一点上面证明过。 设n边形的定点为A1到An，总长度为n×a。如果他们不是等边的，则根据鸽巢原理，必然有两个相邻的边x和y满足x>a>y。 不妨设，两邻边A1A2>a>A2A3，其中A1A2的长度为x，A2A3的长度为y，作另外一点B，使得A1B=a，A3B=x+y-a，此三角形A1BA3的面积大于原来的A1A2A3。 上面一条可以使用海伦公式证明。由于三边和没有变化，其中一条边也没有变化，则另外两条边的差越小，形成的三角形面积越大。 经过上面一次变换，将一条边长修改为a，且面积增加。重复以上过程，最后得到正多边形。
定理2：当总边长固定，正n边形的面积随着n的增加而增加。
本定理可以使用代数和微积分的方式证明. 据说此证明由Zenodorus（芝诺多罗斯，公元前2世纪，希腊）给出。